✎ ☛ Contre-exemple

Méthode

Pour montrer qu'une propriété est fausse, on peut utiliser un contre-exemple.

Énoncé 1

Soit la proposition : « Toute suite croissante tend vers \(+∞\) . » Cette proposition est-elle vraie ?

Solution

Cette proposition est fausse.
En effet, on peut utiliser le contre-exemple suivant.
On considère la suite de terme général  \(-\dfrac1n\) . C'est une suite croissante qui tend vers \(0\) .

Énoncé 2

On considère la proposition : « Pour tous réels  \(a\) et \(b\)  tels que \(a < b\) , on a  \(a^2 < b^2\) . »
Cette proposition est-elle vraie ?

Solution

La proposition est fausse. On utilise le contre-exemple suivant. Soit  \(a=-4\) et \(b=-1\) .
Alors on a bien \(a , mais \(a^2=16\) et \(b^2=1\) , et on a \(a^2\geqslant b^2\) .

Énoncé 3

On considère la proposition : « Pour tous réels \(a\) et \(b\) , \((a+b)^2=a^2+b^2\) . »
Cette proposition est-elle vraie ?

Solution

Cette proposition est fausse.  On utilise le contre-exemple suivant. Soit   \(a=1\)  et  \(b=1\) . 
D'une part, \((1+1)^2=2^2=4\) .
D'autre part, \(1^2+1^2=2\) et \(2\neq 4\) .